Rand und Innenfläche trennen, bevor gerechnet wird

Die häufigste Verwechslung im Geometrieunterricht der Grundschule lautet: Die Kinder rechnen einen Umfang aus, obwohl nach der Fläche gefragt ist, oder umgekehrt. Meist fehlt die Vorstellung, dass Rand und Inneres verschiedene Messgegenstände sind. Ein Faden entlang des Randes liefert eine Länge, Einheitsquadrate im Inneren liefern einen Flächeninhalt. Eine Figur besitzt beide Maße, aber ihre Einheiten unterscheiden sich.

Die Reihe beginnt deshalb ohne Formel. In Modul 1 malen die Kinder bei einem Rechteck aus 3 mal 4 Kästchen den Rand blau und das Innere gelb und zählen Innenkästchen und Randkanten getrennt. Ergebnis: A = 12 Kästchen², U = 14 Kästchenkanten. Die Transferfrage lautet, warum sich die Anzahl der Kästchen nicht als Umfang angeben lässt. Warum Kinder beide Größen durcheinanderbringen, beschreibt der Beitrag Fläche und Umfang verwechselt.

Eine zweite Stufe betrifft die Einheiten. Ein Zentimeter beschreibt eine Länge, ein Quadratzentimeter eine Fläche. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge bedeckt 1 cm². Im Material entscheiden die Kinder vor dem Rechnen, ob nach dem Rand oder nach der bedeckten Fläche gefragt ist, und schreiben die passende Einheit zuerst auf. Eine Maßzahl ohne Einheit gilt als unvollständig. Zuordnungsaufgaben wie Zaunlänge, Teppichgröße, Bildrahmenlänge und Tischoberfläche machen den Unterschied im Alltag greifbar.

Formeln aus Einheitsquadraten begründen

In einem Rechteck mit a Spalten und b Reihen liegen a · b Einheitsquadrate. Wer das selbst gezählt hat, muss die Formel nicht auswendig lernen: Sie ist eine Abkürzung für das Zählen in Bündeln. Im Schülerheft zeichnen die Kinder 4 Spalten und 5 Reihen, zählen erst einzeln, dann in Reihen, und kommen auf 4 · 5 = 20. Danach folgt 7 cm mal 3 cm mit 21 cm² und der Auftrag, den Rechenweg zu erläutern. Wie sich dieser Schritt im Unterricht aufbauen lässt, steht im Beitrag Rechteckformel mit Einheitsquadraten begründen.

Den Umfang leiten die Kinder ebenso her. Ein Rechteck hat zwei Seiten der Länge a und zwei der Länge b. Einmal außen herum ergibt a + b + a + b, zusammengefasst U = 2a + 2b. Für 8 cm mal 2 cm ergibt das 20 cm. Die folgende Tabelle stellt beide Größen nebeneinander, so wie sie im Heft gegenübergestellt werden.

Dass eine Größe die andere nicht festlegt, zeigt Modul 5. Rechtecke mit A = 12 cm² sind 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4. Ihre Umfänge betragen 26 cm, 16 cm und 14 cm. Dieselbe Anzahl Einheitsquadrate ergibt also je nach Form einen anderen Rand. Umgekehrt haben zwei Rechtecke mit U = 20 cm, etwa 8 × 2 mit 16 cm² und 6 × 4 mit 24 cm², verschiedene Flächeninhalte.

Sachaufgaben: Zaun ist Umfang, Pflanzen sind Fläche

In Sachaufgaben muss die gesuchte Größe gedeutet werden. Ein Zaun folgt dem Rand und braucht eine Länge, Pflanzen für ein Beet hängen vom Flächeninhalt ab. In Modul 7 ist ein Garten 8 m lang und 5 m breit. Die Kinder schreiben vor dem Rechnen „Zaun = Umfang“ und „Pflanzen = Fläche“ auf und erhalten A = 40 m² und U = 26 m. Werden 2 Pflanzen pro Quadratmeter gebraucht, sind es 80 Pflanzen. Die Transferfrage nach den Annahmen (rechteckige Form, vollständige Bepflanzung, keine Beete oder Lücken) übt, Modelle kritisch zu lesen.

Zwei weitere Module sind für die Sachebene wichtig. In Modul 6 wird eine L-Form aus einem 4 × 3-Rechteck ohne ein 2 × 1-Rechteck gebildet: A = 12 − 2 = 10 Kästchen², der Umfang beträgt 14 Einheiten. Innere Trennlinien gehören nicht zum Umfang, deshalb dürfen die Umfänge der Teilrechtecke nicht einfach addiert werden. In Modul 8 entwerfen die Kinder eine Spielfläche mit A = 24 m² und rechnen jede Variante aus: 1 × 24 ergibt U = 50 m, 2 × 12 ergibt 28 m, 3 × 8 ergibt 22 m und 4 × 6 ergibt 20 m. Unter den ganzzahligen Paaren braucht 4 × 6 am wenigsten Randmaterial.

Zufall: erst würfeln, dann rechnen

Die Einheit Zufall und Ereignisse für Klasse 5 und 6 folgt derselben Idee. Die Kinder schätzen zuerst, würfeln dann 30-mal und führen mit ihrer Partnerin oder ihrem Partner eine Strichliste für 1 bis 6. Die Summe muss 30 ergeben; wer nachzählt, findet Fehler in der Liste selbst. Wie das Experiment geplant und ausgewertet wird, beschreibt der Beitrag Würfelexperiment planen und auswerten.

Im Material steht ein Datensatz: 1:4, 2:6, 3:3, 4:5, 5:7, 6:5. Gerade Zahlen kamen 6 + 5 + 5 = 16-mal vor, also 16/30 ≈ 53,3 %. Eine Zahl größer als 4 fiel 7 + 5 = 12-mal, das sind 12/30 = 40 %. Verglichen wird mit 1/2 und 1/3. Abweichungen sind bei 30 Würfen normal; die experimentelle Häufigkeit ist von der theoretischen Wahrscheinlichkeit zu unterscheiden, die sich aus wenigen Würfen nicht beweisen lässt.

Zwei Aufgaben räumen Fehlvorstellungen aus. Bei zwei Würfeln zählen geordnete Paare: Die Summe 7 entsteht auf sechs Arten, nämlich (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1), die Summe 2 nur als (1,1). Beim Münzwurf prüfen die Kinder die Aussage „Jetzt muss Zahl kommen“. Bei einer fairen Münze und unabhängigen Würfen bleibt P(Zahl) = 1/2, vorherige Würfe erzwingen nichts. Mehr dazu im Beitrag Spielerfehlschluss beim Münzwurf.

Das Material im Überblick

Die folgenden sechs Titel decken beide Themen ab: zuerst die beiden Einzeltitel, dann die Sparpakete und die Mathematik-Sammlungen. Beide Einzeltitel enthalten Lehrkraftausgabe und Schülerheft als getrennte PDF-Dateien.

Für die Zeit nach Klasse 6 bietet sich die Unterrichtsreihe Flächeninhalt und Umfang von Vierecken an, die als Anschluss ab Klasse 6/7 gedacht ist. Alle Einheiten im Überblick: Differenziertes Unterrichtsmaterial für Klasse 2 bis 7.

Der Stundenplan der Reihe Flächeninhalt & Umfang

Die Reihe ist in acht Stunden gegliedert. Die ersten vier Stunden bauen die Begriffe auf, die zweiten vier wenden sie an. Die Stunden 1 bis 4 beginnen mit einem Bildimpuls und einer Vermutung (10 Minuten), die Stunden 5 bis 8 mit einer Wiederholung (8 Minuten) und enden mit Transfer C und Exit-Ticket.

Für die Einheit Zufall und Ereignisse sind 4 bis 6 Stunden vorgesehen; die sechs Kopiervorlagen lassen sich nach Bedarf kombinieren.

Weitere Bausteine für den Mathematikunterricht

Titel für den Einstieg und für das weitere Üben:

Was in den Einheiten steckt

• Aufgaben in drei StufenA sichert Grundwissen, B verlangt Anwenden und Begründen, C fordert Transfer. Die Lösungen enthalten Bewertungsanker für die Anforderungsbereiche I bis III.
• Lösungen mit ErwartungshorizontJedes Modul enthält die erwartete Lösung, Hinweise zur Rückmeldung und Bewertungsanker.
• Lehrkraftausgabe und Schülerheft getrenntSie geben nur das Schülerheft aus, die Lösungen bleiben bei Ihnen.
• Differenzierung in drei NiveausBasis mit Modell und Satzstarter, Regelstandard mit selbstständiger Arbeit, Vertiefung mit eigenen Daten und Gegenbeispielen.
• Lernhürden und FörderungHinweise zu Begriffen und Fehlvorstellungen, etwa dass eine schöne Zeichnung kein Beleg ist.
• Sofort verfügbar als PDFDigitaler Download, einzelne Module auch als Stationen einsetzbar.

Weiterlesen und stöbern

Beiträge und Seiten zu beiden Themen und zu angrenzenden Fächern.

• Fläche und Umfang verwechselt: warum das passiert
• Rechteckformel mit Einheitsquadraten begründen
• Würfelexperiment planen und auswerten
• Spielerfehlschluss beim Münzwurf
• Mathematik differenzieren in Klasse 3 und 4
• Mathematik spielerisch üben
• Mathe-Testvorbereitung und Diagnose
• Mathe-Warm-up als Unterrichtseinstieg
• Kollektion: Mathe Grundschule Klasse 1–4
• Kollektion: Mathe Sek I Klasse 5–9
• Alle Einheiten für Klasse 2 bis 7
• Sprache untersuchen: Deutsch Klasse 2–6
• Naturwissenschaften Klasse 3–6

Häufige Fragen