Brüche als Anteile einführen: Warum zuerst das Ganze geklärt werden muss

Brüche werden am besten als Anteile eingeführt, indem zuerst das Ganze benannt wird: Ohne ein klar bestimmtes Ganzes und gleich große Teile hat 3/4 keine Bedeutung. Danach folgen zwei Darstellungen, die sich ergänzen, das Flächenmodell für die Anteilsvorstellung und der Zahlenstrahl für die Zahlvorstellung. Wer in Klasse 5 und 6 nur das Rechteckbild nutzt, kämpft später mit Brüchen größer als eins und mit dem Vergleichen. Wer den Zahlenstrahl früh hinzunimmt, vermeidet viele Fehlvorstellungen von Beginn an.

Material zu diesem Artikel

Die im Text erwähnten Unterrichtsmaterialien auf einen Blick. Digitaler Download, sofort einsetzbar.

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Das Ganze zuerst: eine Frage vor jeder Bruchaufgabe

Stellen Sie vor jeder Aufgabe dieselbe Frage: „Wovon ist das ein Teil?“ Ein Viertel von 20 Murmeln sind fünf Murmeln, ein Viertel von einer Pizza ist ein Stück, und beide sind sinnvoll, nur nicht gleich groß. Daraus folgt, dass 1/2 von etwas Kleinem weniger sein kann als 1/4 von etwas Großem. Bei dieser Gelegenheit klärt sich auch, warum die Teile gleich groß sein müssen: Nur dann beschreibt die Zahl der Teile einen eindeutigen Anteil. Zeigen Sie ein Rechteck mit drei ungleich großen Teilen und lassen Sie begründen, warum „ein Drittel“ dort nicht gefärbt ist.

Flächenmodell und Zahlenstrahl: zwei Bilder für zwei Ideen

Im Rechteck aus acht Kästchen sind drei gefärbte Kästchen 3/8. Das Bild zeigt, wie ein Ganzes zerlegt wird, und ist für Erweitern und Kürzen unschlagbar, weil man dieselbe Fläche feiner einteilen kann. Der Zahlenstrahl leistet etwas anderes: Er zeigt, dass Brüche Zahlen sind, die einen Platz haben. Zeichnen Sie einen Strahl von 0 bis 2 und tragen Sie Viertel ein, dann liegen 1/4 und 3/4 vor der Eins und 5/4 ein Viertel dahinter. Das Flächenmodell stößt dagegen an Grenzen, sobald ein Bruch größer ist als eins. Lassen Sie deshalb beide Darstellungen für dieselbe Zahl anfertigen und nebeneinanderlegen. Genau dieses Prinzip, vier Darstellungen einer Zahl, ist ein dankbares Abschlussprojekt, bei dem 3/4 und 5/4 in Fläche, Strahl, Mengenanteil und Schreibweise auftauchen.

Fehlvorstellungen beim Vergleichen erkennen

Drei Fehlschlüsse treten auf. Der erste lautet „größerer Nenner, größerer Bruch“: Wer 2/5 und 2/3 vergleicht, muss sich klarmachen, dass Fünftel kleiner sind als Drittel, also 2/5 < 2/3. Der zweite behandelt Zähler und Nenner wie getrennte Zahlen, und prüft man 2/3 = 3/4, „weil oben und unten eins dazukommt“, zeigt der gemeinsame Nenner den Fehler: 2/3 = 8/12, aber 3/4 = 9/12. Der dritte verwechselt 3/5 mit 5/3. Der erste Bruch liegt unter eins, der zweite darüber. Als Hilfe genügt oft die Frage nach der Eins: Liegt der Bruch davor oder dahinter? Zum sicheren Vergleichen gehört das Ordnen dreier Brüche wie 1/2, 3/4 und 2/3, und hier ist der gemeinsame Nenner 12 das schnellste Argument.

Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern

Erweitern ist nichts anderes als das Einteilen mit einer feineren Skala: 2/3 wird mit 4 zu 8/12, ohne dass sich der Wert ändert. Kürzen ist die Umkehrung, aus 15/20 wird durch 5 der Bruch 3/4. Wichtig ist, dass beides am Bild begründet wird, bevor die Regel „oben und unten mit derselben Zahl“ genannt wird. Ergänzungsaufgaben wie 4/7 = ?/35 zeigen, ob das verstanden ist, weil dort kein Rezept vorgegeben wird, sondern der Faktor gefunden werden muss.

Gemischte Zahlen und der Anteil von einer Menge

Für den Anteil einer Menge gilt: Erst durch den Nenner teilen, dann mit dem Zähler vervielfachen. 3/4 von 28 sind 28 : 4 · 3 = 21. Die Umkehrung ist anspruchsvoller: Sind 3/5 einer Gruppe 18 Personen, entspricht ein Fünftel 6 Personen und die Gruppe hat 30 Mitglieder. Bei Brüchen größer als eins hilft der Bezug zu den Ganzen: 11/4 sind zwei volle Ganze und noch drei Viertel, also 2 3/4, und 3 2/7 ist 23/7. Verlangen Sie die Probe in beiden Richtungen.

Unterrichtsmaterial zur Bruchvorstellung

Die Unterrichtsreihe Brüche verstehen für Klasse 5 und 6 führt diese Schritte in vier Bausteinen aus, von den Anteilen bis zum Bruchmuseum.

Anschließend rechnet Mit Brüchen rechnen weiter.

Für die Verbindung zu Kommazahlen steht die Reihe Dezimalzahlen bereit.

Zusammen mit den anderen Reihen der Stufe gibt es das Sparpaket Klasse 5 und 6. Die Gesamtübersicht liefert die Seite Mathe Klasse 5 und 6 an der Realschule, weitere Titel führt die Kollektion Mathematik für die Realschule.

Wie der Übergang aus der Grundschule aussieht, zeigen Fehlvorstellungen zu Brüchen in Klasse 4 und 5 und Brüche einführen mit Bildern.

Häufige Fragen

Soll ich Brüche mit Pizza und Schokolade einführen?

Als Einstieg ja, aber nur zusammen mit Mengen und dem Zahlenstrahl. Reine Kreisbilder halten sich sonst als einzige Vorstellung.

Wann folgt der Zahlenstrahl?

Sobald die Klasse Teile eines Ganzen benennen kann, also meist in der zweiten Woche. Spätestens bei Brüchen größer als eins wird er gebraucht.

Wie viel Zeit brauche ich für das Vergleichen?

Planen Sie zwei bis drei Stunden ein, in denen jedes Urteil mit Bild oder gemeinsamem Nenner begründet wird. Ein bloßes „Der ist größer“ wird nicht akzeptiert.