Mathematik und politische Bildung · Klasse 7 bis 13
Eine Wahl liefert Material für Prozentrechnung, Verteilungsverfahren, Schwellenprobleme, Stichprobentheorie und Diagrammkritik. Diese Seite rechnet dieselbe fiktive Stimmenverteilung nach Hare/Niemeyer, D'Hondt und Sainte-Laguë durch, zeigt die Sensitivität an der Sperrklausel und ordnet jeden Inhalt einer Klassenstufe zu. Alle Zahlenbeispiele sind Modellrechnungen.
An einer Wahl lassen sich fünf mathematische Bereiche unterrichten, und sie verteilen sich sauber über die Stufen. Ab Klasse 7 trägt die Prozentrechnung: Anteil, Grundwert und vor allem der Unterschied zwischen einer Differenz in Prozentpunkten und einer relativen Veränderung in Prozent. Ab Klasse 8 kommt die Sitzzuteilung hinzu, zunächst als Quotenverfahren nach Hare/Niemeyer mit ganzzahligem Anteil und Restsitzen. Ab Klasse 9 lassen sich die Divisorverfahren nach D'Hondt und Sainte-Laguë danebenlegen und die Frage stellen, warum dieselbe Stimmenverteilung drei verschiedene Sitzverteilungen ergeben kann. Ebenfalls ab Klasse 9 wird die Sperrklausel als Schwellenproblem behandelbar: als Zuordnung, die bei einem Zehntel Prozentpunkt springt. Ab Klasse 10 tragen Stichprobe, Zufallsauswahl und Schwankungsbreite, in der Oberstufe erweitert um Konfidenzintervall und Sensitivitätsanalyse mit der Tabellenkalkulation. Quer dazu liegt die Diagrammkritik, die von Klasse 7 bis zum Abitur funktioniert, weil sich der Anspruch über die geforderte Begründungstiefe steuern lässt. Alle Rechenbeispiele dieser Seite arbeiten mit erfundenen Werten und sind Modellrechnungen.
Die häufigste Fehlerquelle bei Wahlberichten ist die Verwechslung zweier Größen, die beide mit einem Prozentzeichen auftreten. Der Unterschied lässt sich in einer Viertelstunde sichern, wenn man zwei Modellparteien nebeneinanderlegt.
Modellrechnung. Partei X erreicht in einer fiktiven Wahl 36,0 Prozent, in der vorherigen fiktiven Wahl waren es 24,0 Prozent. Partei Y erreicht 18,0 Prozent nach zuvor 30,0 Prozent.
Der Grundwert ist der Punkt, an dem Lernende hängenbleiben. Bei der Prozentpunktdifferenz ist der Grundwert die Gesamtheit der gültigen Stimmen, bei der relativen Änderung ist er der frühere Anteil derselben Partei. Eine wirksame Übung besteht darin, zu jeder der beiden Zahlen den Satz „Bezogen worauf?“ schriftlich zu beantworten. Für reale Fälle gilt zusätzlich: Zahlen vom Wahlabend sind kein amtliches Ergebnis; verbindliche Werte stellt die zuständige Wahlleitung fest.
Die Sitzzuteilung ist mathematisch ein Rundungsproblem: Anteile sind reelle Zahlen, Sitze sind ganze. Jedes Verfahren ist eine Rundungsregel mit eigener systematischer Neigung; damit der Vergleich trägt, läuft dieselbe Verteilung durch alle drei.
Modellannahme. Ein fiktives Parlament hat 83 Sitze; als Mehrheitslinie gilt in diesem Modell 42 Sitze. Die fiktiven Stimmenanteile lauten: Partei A 38,0 Prozent, Partei B 16,0 Prozent, Partei C 12,0 Prozent, Partei D 10,0 Prozent, Partei E 8,0 Prozent, Partei F 5,1 Prozent. Auf alle übrigen Listen entfallen zusammen 10,9 Prozent, jede einzelne davon unter fünf Prozent. Es gilt eine Sperrklausel von fünf Prozent, sodass für die Verteilung die Summe 89,1 Prozent maßgeblich ist. Diese Angaben sind eine Unterrichtsannahme und beschreiben kein reales Parlament.
Hare/Niemeyer. Jede Partei erhält Anteil mal 83 geteilt durch 89,1. Das ergibt A 35,3984, B 14,9046, C 11,1785, D 9,3154, E 7,4523 und F 4,7508. Die ganzzahligen Anteile summieren sich auf 80, es bleiben drei Sitze. Sie gehen an die größten Nachkommateile, also an B mit 0,9046, F mit 0,7508 und E mit 0,4523. Ergebnis: A 35, B 15, C 11, D 9, E 8, F 5.
D'Hondt. Jede Stimmenzahl wird durch 1, 2, 3 und so weiter geteilt; die 83 größten Quotienten erhalten je einen Sitz. Ergebnis: A 37, B 15, C 11, D 9, E 7, F 4. Der letzte vergebene Quotient ist 38,0 ÷ 37 = 1,027; der erste nicht mehr bediente wäre 5,1 ÷ 5 = 1,020. An dieser Stelle wird sichtbar, warum das Verfahren große Listen begünstigt: Die Höchstzahlenreihe einer großen Partei ist dichter besetzt.
Sainte-Laguë. Geteilt wird durch 0,5, 1,5, 2,5 und so weiter, was einer Rundung zur nächsten ganzen Zahl entspricht. Ergebnis: A 36, B 15, C 11, D 9, E 7, F 5. Der letzte vergebene Quotient ist 38,0 ÷ 35,5 = 1,0704; der nächste wäre 8,0 ÷ 7,5 = 1,0667.
Der Vergleich liefert die eigentliche Aufgabe. Partei A erhält je nach Verfahren 35, 36 oder 37 Sitze, ohne dass sich eine einzige Stimme geändert hat. Partei F erhält vier oder fünf Sitze. Ein Bündnis aus B, C, D und E käme nach Hare/Niemeyer auf 43 Sitze, nach den beiden Divisorverfahren auf genau 42, also exakt auf die angenommene Mehrheitslinie. Die Lernenden sollen daraus nicht ableiten, welches Verfahren gerecht ist, sondern beschreiben, welche Eigenschaft jedes Verfahren optimiert: Hare/Niemeyer minimiert die Abweichung vom idealen Anteil, D'Hondt bevorzugt in der Tendenz größere Listen, Sainte-Laguë liegt dazwischen. Welches Verfahren gilt, regeln die Wahlgesetze des Bundes und der Länder.
Die Fünf-Prozent-Hürde ist mathematisch interessant, weil sie eine Unstetigkeit erzeugt: Unterhalb der Schwelle ist die Zuteilung null, oberhalb springt sie auf einen vollen Anteil. Das lässt sich am Modell sichtbar machen, indem man nur eine einzige Zahl verändert.
Modellrechnung, Variante 2. Partei F erreicht statt 5,1 Prozent nur 4,9 Prozent und bleibt damit unter der Schwelle. Die für die Verteilung maßgebliche Summe sinkt von 89,1 auf 84,0 Prozent. Nach Hare/Niemeyer ergeben sich die Quoten A 37,5476, B 15,8095, C 11,8571, D 9,8810 und E 7,9048. Die ganzzahligen Anteile summieren sich auf 79, die vier Restsitze gehen an E, D, C und B. Ergebnis: A 37, B 16, C 12, D 10, E 8.
Der Vergleich mit Variante 1 ist der Kern der Stunde. Partei A hat in beiden Varianten exakt 38,0 Prozent der Stimmen und erhält einmal 35, einmal 37 Sitze. Zwei Zehntel Prozentpunkte bei einer anderen Partei verändern also den Sitzanteil von A um zwei Mandate. Der Grund ist der veränderte Bezugswert: Bleiben Stimmen unberücksichtigt, verteilt sich das gesamte Parlament auf eine kleinere Grundgesamtheit, und alle verbleibenden Listen gewinnen anteilig.
Als Sensitivitätsanalyse lässt sich das systematisieren: Die Lernenden legen eine Spalte mit F-Werten von 4,5 bis 5,5 Prozent in Schritten von 0,1 an, berechnen jeweils die Sitzverteilung und tragen die Sitzzahl von A gegen den F-Wert auf. Es entsteht eine Treppenfunktion mit einem großen Sprung an der Schwelle. Die Anschlussfrage ist keine mathematische mehr, sondern eine politische, und sie gehört auch so gekennzeichnet: Welche Argumente sprechen für eine Sperrklausel, welche dagegen? Beide Seiten werden mit Gründen dargestellt.
Der Kern ist die Frage, warum eine Befragung von etwa tausend Personen überhaupt etwas über Millionen aussagen kann. Die Antwort liegt nicht in der Größe des Landes, sondern in der Art der Auswahl: Nur wenn jede Person eine bekannte, von null verschiedene Chance hat, in die Stichprobe zu geraten, lässt sich die Streuung berechnen.
Modellrechnung. Bei einem Anteil von 30 Prozent und einer Stichprobe von 1000 Personen beträgt der Standardfehler die Wurzel aus 0,30 mal 0,70 geteilt durch 1000, also rund 0,0145 oder 1,45 Prozentpunkte. Das übliche 95-Prozent-Intervall liegt bei etwa dem Doppelten, also ungefähr ±2,8 Prozentpunkten. Bei einem Anteil von 5 Prozent und derselben Stichprobengröße sinkt der Standardfehler auf rund 0,69 Prozentpunkte, das Intervall auf etwa ±1,35 Prozentpunkte. Vervierfacht man die Stichprobe auf 4000 Personen, halbiert sich die Spanne — für eine Halbierung ist also der vierfache Aufwand nötig.
Daraus folgen drei Aussagen, die Lernende selbst formulieren können. Erstens ist die Spanne bei kleinen Anteilen absolut kleiner, relativ zum Anteil aber größer: ±1,35 Prozentpunkte auf 5 Prozent sind mehr als ein Viertel des Wertes. Zweitens überdeckt das Intervall bei einer Partei nahe der Sperrklausel regelmäßig die Schwelle selbst, weshalb aus einer Umfrage nicht folgt, ob eine Partei die Hürde nimmt. Drittens beschreibt die Fehlerspanne ausschließlich den Zufall der Auswahl; systematische Abweichungen durch Nichterreichbarkeit, Antwortverweigerung, Frageformulierung oder Gewichtung sind darin nicht enthalten. Eine Fehlerspanne ist eine Untergrenze der Unsicherheit, kein Sicherheitsversprechen.
Als Handlungsformat eignet sich ein Ziehungsexperiment: In einer Urne liegen 1000 Kugeln mit bekanntem Anteil, die Lerngruppe zieht dreißigmal je 25 Kugeln und trägt die Anteile in ein Histogramm ein. Die Streuung wird sichtbar, bevor die Formel eingeführt wird; in der Tabellenkalkulation ist dieselbe Simulation in zehn Minuten nachgebaut.
Wahlgrafiken sind ein dankbares Übungsfeld, weil dieselben Daten sehr unterschiedlich wirken können, ohne dass eine Zahl falsch ist. Vier Prüfschritte reichen, und sie funktionieren ab Klasse 7.
Als Lernprodukt eignet sich ein Diagrammpaar: Die Lernenden erstellen zu einem vorgegebenen Datensatz zwei Darstellungen, eine sachlich angemessene und eine bewusst irreführende, und schreiben zu beiden eine Bildunterschrift. Bewertet wird nicht die Meinung, sondern die Präzision der Begründung, warum die zweite Darstellung täuscht.
Die Tabelle ordnet die Inhalte dieser Seite dem mathematischen Kern, einer Klassenstufe und einem Aufgabenformat zu. Die Stufenangaben sind Erfahrungswerte für die Planung; verbindlich sind die Vorgaben der zuständigen Stelle des jeweiligen Bundeslandes.
| Inhalt | Mathematischer Kern | Klassenstufe | Aufgabenformat |
|---|---|---|---|
| Prozent und Prozentpunkte | Differenz gegen relative Änderung, Wechsel des Grundwerts | 7 | Doppelrechnung mit anschließender Sprachprobe |
| Anteile und Bezugsgrößen | Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz | 7 | Fehlersuche in vorgegebenen Ergebnissätzen |
| Wahlbeteiligung und Stimmenzahlen | Dreisatz, absolute gegen relative Werte | 7–8 | Tabellenauswertung mit Begründungssatz |
| Sitzzuteilung nach Hare/Niemeyer | Proportionalität, Quote, Restverteilung | 8–9 | Rechenblatt mit Regel für die Restsitze |
| D'Hondt und Sainte-Laguë | Höchstzahlen, Divisorverfahren, Rundungsregeln | 9–10 | Vergleichsrechnung an derselben Verteilung |
| Sperrklausel | Schwellenwert, Unstetigkeit, Änderung des Bezugswerts | 9–10 | Zwei Szenarien mit Differenzbeschreibung |
| Umfragen und Schwankungsbreite | Stichprobe, Zufallsauswahl, Standardfehler | 10–11 | Berechnung der Spanne, danach Interpretation |
| Diagramme prüfen | Skalen, Achsenabschnitt, Flächenwahrnehmung | 7–13 | Zwei Darstellungen desselben Datensatzes |
| Sensitivitätsanalyse | Modellierung, Parametervariation, Treppenfunktion | 11–13 | Tabellenkalkulation mit Ergebnisdiagramm |
Die folgenden Reihen enthalten die politikdidaktische Seite dieser Rechnungen: Ergebnisauswertung, Wahlsystem, Sitzverteilung und Regierungsbildung mit fertigen Arbeitsblättern und Lösungen. Sie sind Material eines privaten Verlags und nicht ministeriell geprüft.
Unterrichtspaket
Acht Stunden mit vierzehn Materialseiten, Lösungen und einer Lernkontrolle. Enthält ein fächerübergreifendes Modul für Mathematik mit Prozentpunktrechnung und Sitzverteilung. Sinnvoll, wenn Mathematik und Politik dieselbe Wahl in derselben Woche behandeln.
Oberstufe
Zwanzig Materialseiten mit Sitzsimulation, Koalitionsarithmetik und einem Klausurvorschlag über hundert Punkte samt Erwartungshorizont. Passt zu Kursen, die die Modellrechnungen dieser Seite in eine schriftliche Analyse überführen sollen.
Unterrichtsreihe
Erst- und Zweitstimme, Ausgleichs- und Überhangmechanik, Sperrklausel und der Weg von der Sitzverteilung zur Regierungsbildung. Liefert den institutionellen Rahmen, ohne den die Zuteilungsverfahren als reine Rechenübung erscheinen.
Sparpaket
Fasst die Oberstufenreihen von Wahlsystem und Programmvergleich bis zur Ergebnisanalyse zusammen. Gedacht für Fachschaften, die Wahlstatistik über ein Halbjahr anlegen und dafür eine durchgängige Materialbasis benötigen.
Die Inhalte bauen aufeinander auf, wenn die Aufgabenformate mitwachsen. In Klasse 7 steht die Doppelrechnung: Zu einem Datenpaar werden beide Veränderungswerte bestimmt und mit einem Satz versehen, der den Bezug nennt. Die Leistung besteht im korrekten Grundwert, nicht im Rechenweg. In Klasse 8 kommt die Hare/Niemeyer-Zuteilung hinzu, zunächst mit vorgegebener Quotentabelle, dann selbst gerechnet; der Lernnachweis ist die Begründung der Restsitzvergabe.
In Klasse 9 laufen zwei Verfahren nebeneinander, und die Aufgabe wechselt von „berechne“ zu „vergleiche und erkläre die Abweichung“. Hier gehört auch die Sperrklausel hin. In Klasse 10 kommt die Stichprobe dazu; die Aufgabe lautet, eine Umfragemeldung zu prüfen und zu entscheiden, welche Aussagen die Daten tragen.
In der Oberstufe verschiebt sich der Schwerpunkt auf Modellierung und Bewertung. Typische Aufgaben: eine Sensitivitätsanalyse in der Tabellenkalkulation mit Interpretation der Treppenfunktion; ein Verfahrensvergleich mit begründeter Aussage über die jeweils optimierte Eigenschaft; die Prüfung einer Umfragemeldung auf zufällige und systematische Abweichung. Über die Anforderungsbereiche hinweg gilt die Dreiteilung wiedergeben, anwenden, beurteilen — wobei das Beurteilen sich auf die Tragfähigkeit einer Aussage bezieht, nicht auf eine politische Präferenz.
Alle Zahlen dieser Seite sind erfunden und beschreiben kein reales Parlament, keine reale Partei und kein reales Wahlergebnis. Die Größe von 83 Sitzen und die Mehrheitslinie von 42 sind eine Unterrichtsannahme; die tatsächliche Sitzzahl eines Landtags ergibt sich aus dem jeweiligen Landeswahlrecht und kann von Wahl zu Wahl abweichen, etwa durch Ausgleichs- und Überhangmandate.
Für reale Wahlen gilt außerdem eine Statusregel, die im Mathematikunterricht genauso wichtig ist wie im Politikunterricht: Prognosen und Hochrechnungen am Wahlabend sind keine amtlichen Ergebnisse. Verbindliche Stimmen- und Sitzzahlen stellt die zuständige Wahlleitung fest; bis dahin gehört jede Zahl mit Quelle, Statusbezeichnung und Zeitstempel notiert. Wer mit aktuellen Werten rechnet, legt die Rechnung so an, dass sich die Eingangszahlen später austauschen lassen, ohne den Rechenweg zu ändern.
Diese Titel enthalten Aufgaben, die sich für den fächerverbindenden Einsatz zwischen Mathematik und politischer Bildung eignen.
Präsentation Sek I
Präsentation Sek II
Sparpaket Sek I
Juniorwahl Sek I
Landtagswahl Sachsen 2024
Bundestagswahl 2025
Diese Beiträge, Themenseiten und Sammlungen vertiefen einzelne Rechenwege und ihre politikdidaktische Einbettung.
Hare/Niemeyer funktioniert ab Klasse 8, weil nur Prozentrechnung, Multiplikation und ein Vergleich von Nachkommateilen nötig sind. Die Divisorverfahren nach D'Hondt und Sainte-Laguë sind ab Klasse 9 sinnvoll, weil dort das Vergleichen von Quotientenreihen und das Argumentieren über Rundungsregeln hinzukommen. Für eine erste Begegnung reicht eine vorgegebene Quotentabelle, die nur ausgewertet wird.
Weil Anteile reelle Zahlen sind und Sitze ganze. Jedes Verfahren ist eine Rundungsregel mit einer eigenen systematischen Neigung: Hare/Niemeyer minimiert die Abweichung vom idealen Anteil, D'Hondt bevorzugt in der Tendenz größere Listen, Sainte-Laguë liegt dazwischen. Im Modell dieser Seite erhält dieselbe Partei je nach Verfahren 35, 36 oder 37 Sitze, ohne dass sich eine Stimme geändert hat.
Nein. Alle Stimmenanteile, die Zahl von 83 Sitzen und die Mehrheitslinie von 42 sind erfundene Unterrichtsannahmen für die Modellrechnung. Sie beschreiben kein reales Parlament und kein amtliches Ergebnis. Verbindliche Stimmen- und Sitzzahlen einer realen Wahl stellt die zuständige Wahlleitung fest.
Über die Herkunft der Zahl. Der Standardfehler beschreibt ausschließlich die Streuung, die durch die zufällige Auswahl entsteht. Nichterreichbarkeit, Antwortverweigerung, Frageformulierung und Gewichtung der Rohdaten gehen nicht ein. Die angegebene Spanne ist deshalb eine Untergrenze der Unsicherheit. Ein Zahlenbeispiel hilft: Bei fünf Prozent und tausend Befragten beträgt das Intervall etwa ±1,35 Prozentpunkte und überdeckt damit regelmäßig die Fünf-Prozent-Schwelle.
Ja, der mathematische Kern trägt allein. Sinnvoll ist trotzdem eine kurze Einordnung, warum es Zuteilungsverfahren und Sperrklauseln gibt, sonst bleibt die Rechnung beliebig. Die Bewertung der Verfahren gehört ausdrücklich als offene Frage gekennzeichnet: Der Unterricht zeigt, welche Eigenschaft ein Verfahren optimiert, und gibt keine Antwort darauf vor, welches vorzuziehen ist.
Eine Tabellenkalkulation genügt. Sinnvoll ist ein Aufbau mit getrenntem Eingabebereich für die Stimmenanteile und Rechenbereich für Quoten, Höchstzahlen und Sitze, damit sich Werte austauschen lassen, ohne Formeln zu ändern. Für die Darstellung reicht ein Punkt- oder Stufendiagramm, das die Sitzzahl einer Partei gegen den variierten Parameter aufträgt.