Die Rechteckformel über Einheitsquadrate begründen statt auswendig lernen
Die Formel A = a · b lässt sich begründen, indem Kinder ein Rechteck in gleich lange Reihen aus Einheitsquadraten gliedern. Bei 4 Reihen zu je 5 Quadraten ergibt das 4 · 5 = 20 cm². Statt jedes Quadrat einzeln zu zählen, bündeln die Kinder die Reihen und multiplizieren. So wird die Formel zu einer Abkürzung, die sie selbst hergeleitet haben.
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Von der Reihe zur Formel
In Stunde 3 der Einheit steht der Satz im Mittelpunkt: In einem Rechteck mit a Spalten und b Reihen liegen a · b Einheitsquadrate. Aufgabe A verlangt, 4 Spalten und 5 Reihen zu zeichnen und erst einzeln, dann in Bündeln zu zählen. Das Ergebnis sind 20 Einheiten. Die Hilfe im Schülerheft lautet: Zeichne eine Zeile und zähle, wie oft sie vorkommt.
In Aufgabe B berechnen die Kinder A für 7 cm × 3 cm und erläutern ihren Rechenweg: 7 · 3 = 21 cm². Die Transferfrage fragt, warum Multiplikation hier sinnvoller ist als langes Einzelzählen. Eine gute Antwort nennt die gleich großen Reihen, die sich bündeln lassen. Beide Seitenlängen müssen dabei dieselbe Längeneinheit haben.
Zentimeter und Quadratzentimeter
Bevor die Formel drankommt, klärt Stunde 2 die Einheiten. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm bedeckt 1 cm². Ein Zentimeter beschreibt eine Länge, ein Quadratzentimeter eine Fläche. Die Transferaufgabe verlangt, das hochgestellte 2 in cm² zu erklären.
| Gefragt ist | Beispiele | Einheit | Rechteck 2 × 3 cm |
|---|---|---|---|
| Rand | Zaun, Bildrahmen | cm oder m | U = 10 cm |
| bedeckte Fläche | Teppich, Tischfläche | cm² | A = 6 cm² |
Der Umfang folgt derselben Logik. Ein Rechteck hat zwei Seiten der Länge a und zwei der Länge b, einmal außen herum ergibt a + b + a + b und zusammengefasst U = 2a + 2b. Beim Beispiel 8 cm × 2 cm sind das 8 + 2 + 8 + 2 = 20 cm. Der Umfang ist eine Länge, seine Einheit lautet cm oder m, nicht cm².
Die L-Form
Wenn die Rechteckformel sitzt, kommen zusammengesetzte Figuren dazu. Eine L-Form lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen, deren Flächen addiert werden. Alternativ ziehen die Kinder eine fehlende Ecke ab. Das Beispiel im Schülerheft: 4 × 3 minus 2 × 1 ergibt 12 − 2 = 10 Kästchen².
Beim Umfang zählt ausschließlich der Außenrand. Für die Figur aus Aufgabe A ergibt sich U = 14 Einheiten. Eine innere Trennlinie hilft beim Rechnen, gehört aber nicht zum Umfang. Deshalb dürfen die Umfänge der beiden Teilrechtecke nicht einfach addiert werden, denn die gemeinsame Innenkante würde doppelt gezählt.
Sachaufgabe Garten
Ein rechteckiger Garten ist 8 m lang und 5 m breit. Die Kinder schreiben vor dem Rechnen „Zaun = Umfang“ und „Pflanzen = Fläche“ auf. Die Fläche beträgt 8 · 5 = 40 m², der Rand 2 · 8 + 2 · 5 = 26 m. Werden für 1 m² zwei Pflanzen benötigt, sind es 2 · 40 = 80 Pflanzen.
Die Transferfrage der Einheit lautet, welche Annahmen die Aufgabe vereinfachen. Genannt werden sollen eine vollständige Bepflanzung und die rechteckige Form, also ein idealisiertes Rechteck ohne Lücken und Beete. Diese Annahmen gehören zur Antwort.
Material und weiterführende Beiträge
Alle Aufgaben dieses Beitrags stammen aus der Einheit Flächeninhalt & Umfang verstehen für Klasse 3 bis 6 mit 8 Lernmodulen. Für den Anschluss ab Klasse 6/7 gibt es die Unterrichtsreihe Flächeninhalt und Umfang von Vierecken für die Sekundarstufe I.
Warum Kinder Rand und Innenfläche verwechseln und wie ein Rechteck mit 12 cm² verschiedene Umfänge haben kann, erklärt der Beitrag Warum Kinder Flächeninhalt und Umfang verwechseln. Zum Differenzieren in Klasse 3 und 4 passt der Beitrag Mathematik differenzieren.
Weitere Mathematik-Einheiten finden Sie auf der Seite Mathematik Klasse 3 bis 6, alle Reihen auf der Seite Differenziertes Unterrichtsmaterial für Klasse 2 bis 7.
Häufige Fragen
Wann führe ich die Formel A = a · b ein?
Laut Verlaufsplanung der Einheit in Stunde 3, nach Rand und Innenfläche in Stunde 1 und den Einheiten in Stunde 2. Die Kinder kennen dann Einheitsquadrate und können die Formel begründen.
Was hilft, wenn Kinder cm und cm² vermischen?
Die Einheit vor dem Rechnen aufschreiben. Im Schülerheft markieren die Kinder „Rand“ blau und „Fläche“ grün und entscheiden erst dann, was gerechnet wird.
Gilt die Rechteckformel auch für die L-Form?
Nicht direkt. Die Kinder zerlegen die Figur in Rechtecke und addieren die Flächen, oder sie ziehen die fehlende Ecke ab. Bei 4 × 3 minus 2 × 1 ergeben sich 10 Kästchen².
Luca beschäftigt sich seit Jahren intensiv mit der Frage, was guten Unterricht ausmacht - und wie Lehrkräfte dabei wirklich entlastet werden können. Als Gründer von stifo.de entwickelt er strukturierte Unterrichtsmaterialien, die Lehrerinnen und Lehrer im Alltag spürbar unterstützen: durchdacht aufgebaut, direkt einsetzbar und didaktisch solide.
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