Umfragen im Mathematikunterricht: Stichprobe, Fehlerspanne, Schwankungsbreite

Umfragen sind für den Mathematikunterricht deshalb so ergiebig, weil sich an ihnen drei Begriffe sauber trennen lassen, die im Alltag durcheinandergeraten: die Stichprobe als Auswahl aus einer Grundgesamtheit, der Standardfehler als Streuungsmaß und die daraus gebildete Schwankungsbreite als Intervall um den gemessenen Anteil. Mit einer einzigen Formel und einem Taschenrechner lässt sich in einer Doppelstunde zeigen, warum ein Vorsprung von zwei Prozentpunkten in einer Umfrage keine Aussage über die Rangfolge erlaubt. Alle folgenden Zahlen sind Modellrechnungen mit erfundenen Werten.

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Die Formel und ihre Bedeutung

Für einen Anteil p in einer Zufallsstichprobe vom Umfang n beträgt der Standardfehler s = Wurzel aus (p mal (1 minus p) geteilt durch n). Multipliziert mit 1,96 ergibt sich die halbe Breite des 95-Prozent-Konfidenzintervalls, umgangssprachlich die Fehlerspanne. Drei Eigenschaften dieser Formel sind unterrichtstauglich und überraschen Lernende regelmäßig.

• Die Größe der Grundgesamtheit kommt nicht vor. Ob 1,8 Millionen oder 60 Millionen Wahlberechtigte befragt werden könnten, ändert nichts. Entscheidend ist allein n.
• Die Genauigkeit wächst mit der Wurzel. Eine Verdopplung von n verkleinert die Spanne nur um den Faktor Wurzel aus 2, also etwa 1,41.
• Die Spanne hängt von p ab. Sie ist bei p gleich 0,5 am größten und wird zu den Rändern hin kleiner.

Drei durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: mittlerer Anteil. Eine fiktive Partei A erreicht in einer Umfrage 30,0 Prozent bei n gleich 1000. Es gilt s gleich Wurzel aus (0,30 mal 0,70 geteilt durch 1000) gleich Wurzel aus 0,00021 gleich 0,01449, also 1,45 Prozentpunkte. Die Fehlerspanne beträgt 1,96 mal 1,45 gleich rund 2,8 Prozentpunkte. Das Intervall reicht also von 27,2 bis 32,8 Prozent.

Beispiel 2: kleiner Anteil an der Sperrklausel. Eine fiktive Partei B liegt bei 5,0 Prozent, ebenfalls bei n gleich 1000. Hier ist s gleich Wurzel aus (0,05 mal 0,95 geteilt durch 1000) gleich 0,00689, also 0,69 Prozentpunkte, und die Fehlerspanne rund 1,4 Prozentpunkte. Das Intervall reicht von 3,6 bis 6,4 Prozent. Die Umfrage kann die Frage, ob diese Partei über fünf Prozent liegt, schlicht nicht beantworten. Wie stark dieser Schwellenwert im Wahlrecht wirkt, lässt sich im Anschluss an der Fünfprozenthürde durchrechnen.

Beispiel 3: größere Stichprobe. Dieselben 30,0 Prozent bei n gleich 2000 ergeben s gleich 1,02 Prozentpunkte und eine Fehlerspanne von rund 2,0 Prozentpunkten. Die Verdopplung der Befragtenzahl hat die Spanne also von 2,8 auf 2,0 Prozentpunkte gedrückt, nicht halbiert. Das ist der sichtbare Wurzeleffekt und ein guter Anlass, den Aufwand einer Erhebung mit ihrem Ertrag zu vergleichen.

Für den Vergleich zweier Parteien innerhalb derselben Umfrage gilt eine schärfere Regel: Die Differenz zweier Anteile hat eine größere Unsicherheit als jeder einzelne Anteil, weil sich beide Fehler addieren. Als Faustregel für den Unterricht genügt, dass ein Vorsprung erst dann als gesichert gelten kann, wenn er deutlich größer ist als die Fehlerspanne eines einzelnen Wertes. Ein Vorsprung von zwei Prozentpunkten bei einer Spanne von 2,8 Prozentpunkten ist keiner.

Ablauf für eine Doppelstunde

• 0 bis 10 Minuten: Einstieg mit einer Umfragegrafik ohne Fehlerbalken. Die Klasse notiert, welche Aussage die Grafik nahelegt.
• 10 bis 25 Minuten: Herleitung der Formel am Bernoulli-Modell, Einführung von Standardfehler und Konfidenzintervall.
• 25 bis 50 Minuten: Rechenphase in Partnerarbeit mit den drei Beispielen oben und zwei eigenen Werten je Paar.
• 50 bis 70 Minuten: Die Klasse zeichnet die Werte mit Intervallbalken. Sichtbar wird, welche Balken sich überlappen.
• 70 bis 90 Minuten: Rückbezug auf die Einstiegsgrafik. Welche der anfangs notierten Aussagen halten der Rechnung stand?

Die Rechnung beschreibt allein den Zufallsfehler bei einer echten Zufallsauswahl. Nichtantworten, Gewichtungen und die Frage, ob Befragte ihr späteres Verhalten korrekt angeben, sind darin nicht enthalten; deshalb sind reale Fehlerspannen eher größer als berechnet. Die sprachliche Seite dieser Unterscheidung, also der Unterschied zwischen Prognose, Hochrechnung und Ergebnis, ist gesondert beschrieben, ebenso das häufige Missverständnis zwischen Prozent und Prozentpunkten. Wer die Rechnung mit einer vollständigen Ergebnisanalyse verbinden will, findet passende Klausuraufgaben im Unterrichtspaket für die Sek II.

In der Sekundarstufe I bleibt die Formel meist im Hintergrund, während der Intervallgedanke grafisch aufgebaut wird: Balken mit Spannweite statt einzelner Werte. Eine entsprechend vereinfachte Aufgabensammlung enthält die Fassung für die Sek I, die mit denselben Zahlen arbeitet. Weitere Rechenzugänge sind auf der Seite zur Wahlstatistik im Mathematikunterricht gesammelt.

Häufige Fragen

Ab welcher Klassenstufe funktioniert das?
Die Formel selbst ab Klasse 9 als Rezept, mit Herleitung über die Binomialverteilung in der Oberstufe. Der Intervallgedanke lässt sich schon früher grafisch anbahnen.

Warum steht in Veröffentlichungen oft eine feste Spanne für die ganze Umfrage?
Weil dort meist der ungünstigste Fall bei p gleich 0,5 angegeben wird. Für kleine Anteile ist die tatsächliche Spanne kleiner, für mittlere entspricht sie ungefähr der Angabe.

Darf ich in der Klasse eine eigene Umfrage rechnen lassen?
Ja, mit einem schulischen Sachthema. Persönliche Parteipräferenzen werden nicht erhoben, und eine Klasse ist keine Zufallsstichprobe, was sich als eigener Lerngegenstand nutzen lässt.